درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (3) کلاس دوازدهم ریاضی
درس 1: ماتریس و اعمال روی ماتریسها
اطلاعات مربوط به 4 تیم اول حاضر در یک سری مسابقات فوتبال که بهصورت رفت و برگشتی انجام میشود در جدول زیر آمده است:
| برد | باخت | مساوی | امتیاز | |
| تیم $A$ | 9 | 3 | 3 | 30 |
| تیم $B$ | 7 | 4 | 4 | 25 |
| تیم $C$ | 6 | 3 | 6 | 24 |
| تیم $D$ | 6 | 5 | 4 | 22 |
اگر این اطلاعات را به شکل آرایشی از اعداد و در داخل دو کروشه محصور کنیم، در این صورت یک ماتریس شامل 4 سطر و 4 ستون حاصل میشود که اگر آن را با حرف $M$ نمایش دهیم، خواهیم داشت:
معمولاً ماتریسها را با حروف بزرگ مانند $A$، $B$، $C$ و ... نامگذاری میکنیم.
مثال: ماتریس $A$ ماتریسی شامل سه سطر و چهار ستون است. این ماتریس دارای $3 \times 4 = 12$ درایه است و مثلاً عدد حقیقی $\sqrt 2 $ درایهٔ روی سطر اول و ستون چهارم است و درایهٔ $( - 7)$ روی سطر دوم و ستون سوم قرار دارد.
$A = \left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \\
5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\, - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
- 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,20\,\,\,\,\,\,\,\,\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,14 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
در حالت کلی اگر ماتریسی چون $A$ دارای $m$ سطر و $n$ ستون باشد مینویسیم ${A_{m \times n}}$ و میخوانیم ($A$ ماتریسی از مرتبه $m \times n$ ($m$ در $n$) است.) برای هر درایهٔ ماتریس و به منظور مشخص کردن جایگاه آن، دو اندیس در نظر میگیریم که اندیس سمت چپ جای سطر و اندیس سمت راست جای ستونِ آن درایه را مشخص میکند، ${a_{ij}}$ یعنی درایهٔ روی سطر $i$ام و ستون $j$ام.
ماتریس ${A_{2 \times 3}}$ و ماتریس ${B_{m \times n}}$ با درایههایشان نمایش داده شدهاند:
${A_{2 \times 3}} = \left[ \begin{gathered}
{a_{11}}\,\,\,\,\,{a_{12}}\,\,\,\,\,{a_{13}} \hfill \\
{a_{21}}\,\,\,\,\,{a_{22}}\,\,\,\,{a_{23}} \hfill \\
\end{gathered} \right]$
و
${B_{m \times n}} = \left[ \begin{gathered}
{b_{11}}\,\,\,\,\,{b_{12}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,{b_{1j}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,\,\,{b_{1n}} \hfill \\
{b_{21}}\,\,\,\,\,{b_{22}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,{b_{2j}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,\,\,{b_{2n}} \hfill \\
\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\
{b_{i1}}\,\,\,\,\,{b_{i2}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,{b_{ij}}\,\,\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,\,\,{b_{in}} \hfill \\
\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\
{b_{m1}}\,\,\,\,\,{b_{m2}}\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,\,{b_{mj}}\,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,{b_{mn}} \hfill \\
\end{gathered} \right]$
درایهٔ ${b_{ij}}$ را درایهٔ عمومی ماتریس $B$ مینامیم که $1 \leqslant j \leqslant m$ و $1 \leqslant j \leqslant n$ تغییر میکنند. همهٔ درایههای ماتریس $B$ را میتوان توسط درایهٔ عمومی نمایش داد و برای اختصار مینویسیم $B = \left[ {{b_{ij}}} \right]$.
کار در کلاس (صفحه 11 کتاب درسی)
اطلاعات مربوط به 4 فروشگاه $A$، $B$، $C$ و $D$ در مورد تعداد شلوار، بلوز و پیراهنهای موجود در هر فروشگاه، در جدول دو بعدی زیر آمده است این اطلاعات را یکبار با یک ماتریس $3 \times 4$ و یکبار با ماتریسی $4 \times 3$ نمایش دهید.
| فروشگاه $A$ | 24 شلوار، 15 بلوز و 7 پیراهن |
| فروشگاه $B$ | 26 شلوار، 19 بلوز و 11 پیراهن |
| فروشگاه $C$ | 17 شلوار، 28 بلوز و 22 پیراهن |
| فروشگاه $D$ | 12 شلوار، 31 بلوز و 35 پیراهن |
معرفی چند ماتریس خاص
1- اگر در ماتریس $A$، تعداد سطرها با تعداد ستونها برابر و مساوی $n$ باشد، $A$ را یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $(n \times n)n$ مینامیم. ماتریسهای زیر همگی مربعی هستند:
در ماتریسهای $A$ و $B$ قطرهای مشخص شده را قطر اصلی این دو ماتریس مینامیم و اگر $i = j$ در این صورت درایهٔ ${a_{ij}}$ روی قطر اصلی قرار دارد.
2- اگر ماتریس $A$ فقط از یک سطر تشکیل شده باشد (فقط دارای یک سطر باشد) آن را یک ماتریس سطری مینامیم. ماتریسهای زیر همگی ماتریسهای سطری هستند:
$A = {\left[ {1\,\,\,2} \right]_{1 \times 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = {\left[ {2\,\,\, - 1\,\,\,\,4\,\,\,\,5} \right]_{1 \times 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C{\left[ 7 \right]_{1 \times 1}} = 7$
3- اگر ماتریسی فقط دارای یک ستون باشد آن را ماتریس ستونی مینامیم. ماتریسهای زیر همگی ستونی هستند:
$C={\left[ {114} \right]_{1 \times 1}} = 114$ و $B = {\left[ \begin{gathered}
2 \hfill \\
- 1 \hfill \\
3 \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{4 \times 1}}$ و $A = {\left[ \begin{gathered}
2 \hfill \\
\pi \hfill \\
- \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 1}}$
4- ماتریس قطری، ماتریسی است مربعی که تمام درایههای غیرواقع بر قطر اصلی آن صفر باشند. (درایههای واقع بر قطر میتوانند صفر باشند یا نباشند.) ماتریسهای زیر همگی قطریاند.
$C = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,7 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $A = \left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
5- اگر ماتریسی قطری باشد و تمام درایههای روی قطر اصلی آن با هم برابر باشند آن را یک ماتریس اسکالر مینامیم. ماتریسهای زیر همگی اسکالر هستند:
$C = \left[ 2 \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
3\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,3\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
6- ماتریس صفر، ماتریسی است که همهٔ درایههای آن صفر باشند. ماتریس صفر را با نماد $\overline \bigcirc $ نشان میدهیم. ماتریس $\left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$، ماتریس صفر $2 \times 2$ است.
جمع ماتریسها
در کار در کلاس مربوط به فروشگاههای لباس اگر قرار باشد شرکت تولیدکنندهٔ لباسها به هریک از 4 فروشگاه مذکور 20 شلوار، 30 بلوز و 50 پیراهن ارسال کند در این صورت اطلاعات مربوط به تعداد لباسها در هر فروشگاه بهصورت زیر است:
| $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | |
| شلوار | $24 + 20$ | $26 + 20$ | $17 + 20$ | $12 + 20$ |
| بلوز | $15 + 30$ | $19 + 30$ | $28 + 30$ | $31 + 30$ |
| پیراهن | $7 + 50$ | $11 + 50$ | $22 + 50$ | $35 + 50$ |
اگر این جدول را با یک ماتریس $3 \times 4$ نمایش دهیم میتوان آن را توسط مجموع دو ماتریس که درایههای آنها نظیر به نظیر با هم جمع شدهاند نوشت:
${\left[ \begin{gathered}
24\,\,\,\,\,26\,\,\,\,\,17\,\,\,\,\,12 \hfill \\
15\,\,\,\,\,19\,\,\,\,\,28\,\,\,\,\,\,31 \hfill \\
7\,\,\,\,\,\,\,11\,\,\,\,\,22\,\,\,\,\,\,35 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 4}} + {\left[ \begin{gathered}
20\,\,\,\,\,20\,\,\,\,\,20\,\,\,\,\,20 \hfill \\
30\,\,\,\,\,30\,\,\,\,\,30\,\,\,\,\,30 \hfill \\
50\,\,\,\,\,50\,\,\,\,\,50\,\,\,\,\,50 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 4}} = {\left[ \begin{gathered}
44\,\,\,\,\,46\,\,\,\,\,37\,\,\,\,\,32 \hfill \\
45\,\,\,\,\,49\,\,\,\,\,58\,\,\,\,\,\,61 \hfill \\
57\,\,\,\,\,61\,\,\,\,\,\,72\,\,\,\,\,85 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 4}}$
برای جمع یا تفاضل دو ماتریس هم مرتبهٔ $A$ و $B$ کافی است درایههای دو ماتریس را نظیر به نظیر با هم جمع یا از هم کم کنیم که حاصل مجموع یا تفاضل $A$ و $B$ ماتریسی است چون $C$ که از همان مرتبهٔ $A$ و $B$ است. به عبارت دیگر میتوان نوشت:
$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}} \Rightarrow A \pm B = \left[ {{a_{ij}}} \right] \pm \left[ {{b_{ij}}} \right] = \left[ {{a_{ij}} \pm {b_{ij}}} \right]$
کار در کلاس (صفحه 14 کتاب درسی)
مانند نمونه ماتریسهای $A$ و $B$ را در هر حالت با هم جمع یا تفریق کنید.
$A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
4\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
7\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,8 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$A + B = \left[ \begin{gathered}
1 + ( - 1)\,\,\,\,\,\,\,2 + ( - 2)\,\,\,\,\,\,3 + ( - 3)\,\,\,\,\,\,( - 1) + 1 \hfill \\
\,\,\,4 + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6 + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,( - 1) + 4 \hfill \\
\,\,\,7 + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8 + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9 + 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,( - 1) + 8 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
5\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,3 \hfill \\
12\,\,\,\,14\,\,\,\,16\,\,\,\,7 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,\,,\,\,\,B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\,\,3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow \,\,A - B = ....$ (الف
$A = \left[ {1\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,3\,\,\,\,7} \right]\,\,\,,\,\,\,B = \left[ {3\,\,\,\,2\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,4} \right] \Rightarrow \,\,A + B = ....$ (ب
$A = \left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\sqrt 2 \,\,\,\,5\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,\,,\,\,\,B = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,1\,\,\,\,4\,\,\,\, - 7 \hfill \\
\,1\,\,\,\,2\,\,\,\,3\,\,\, - 9 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow \,\,A - B = ....$ (پ
$A = \left[ 5 \right]\,\,\,,\,\,\,B = \left[ { - 7} \right] \Rightarrow \,\,A + B = ....$ (ت
ث) دو ماتریس $3 \times 3$ و غیرصفر مثال بزنید که جمع آنها برابر با ماتریس صفر باشد.
ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس
در کار در کلاس مربوط به فروشگاههای لباس اگر ماتریس حاصل را $A$ بنامیم و قرار باشد در هر فروشگاه تمام سه نوع لباس تعدادشان دوبرابر شود ماتریس حاصل بهصورت زیر نوشته میشود:
$B = \left[ \begin{gathered}
24 \times 2\,\,\,\,\,\,\,26 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,17 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,12 \times 2 \hfill \\
15 \times 2\,\,\,\,\,\,\,19 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,28 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,31 \times 2 \hfill \\
\,7 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,11 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,22 \times 2\,\,\,\,\,\,\,\,35 \times 2 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ = \left[ \begin{gathered}
24 + 24\,\,\,\,\,\,\,26 + 26\,\,\,\,\,\,\,17 + 17\,\,\,\,\,\,\,\,12 + 12 \hfill \\
15 + 15\,\,\,\,\,\,\,\,19 + 19\,\,\,\,\,\,\,\,28 + 28\,\,\,\,\,\,\,\,31 + 31 \hfill \\
\,\,7 + 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,11 + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,22 + 22\,\,\,\,\,\,\,\,35 + 35 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ = \left[ \begin{gathered}
24\,\,\,\,\,\,\,26\,\,\,\,\,\,\,17\,\,\,\,\,\,\,\,12 \hfill \\
15\,\,\,\,\,\,\,\,19\,\,\,\,\,\,\,28\,\,\,\,\,\,\,\,31 \hfill \\
\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,11\,\,\,\,\,\,\,\,22\,\,\,\,\,\,\,35 \hfill \\
\end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered}
24\,\,\,\,\,\,\,26\,\,\,\,\,\,\,17\,\,\,\,\,\,\,\,12 \hfill \\
15\,\,\,\,\,\,\,\,19\,\,\,\,\,\,\,28\,\,\,\,\,\,\,\,31 \hfill \\
\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,11\,\,\,\,\,\,\,\,22\,\,\,\,\,\,\,35 \hfill \\
\end{gathered} \right] = A + A = 2A$
کار در کلاس (صفحه 15 کتاب درسی)
1- در هر حالت طرف دوم تساویهای زیر را بهدست آورید.
(الف) $ - 1 \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\, \hfill \\
- 4\,\,\,\,\, - 5\,\,\,\,\, - 6 \hfill \\
\end{gathered} \right] = $$\left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \\
- 4\,\,\,\,\,\, - 5\,\,\,\,\,\,\,\, - 6 \hfill \\
+ 4\,\,\,\,\,\, + 5\,\,\,\,\,\,\,\, + 6 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
(ب) $\frac{1}{2} \times \left[ \begin{gathered}
4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,7\, \hfill \\
\sqrt 2 \,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,8 \hfill \\
\end{gathered} \right] = $ $\left[ \begin{gathered}
\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{7}{2} \hfill \\
\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
(ج) $0 \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
- 2\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\, - 4 \hfill \\
5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,7 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = $ $\left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
(د) $7 \times \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = $ $\left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
2) هر یک از ماتریسهای زیر را بهصورت ضرب یک عدد در یک ماتریس بنویسید.
$\left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,6 \hfill \\
8\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,2 \hfill \\
10\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = 2 \times $ $\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3 \hfill \\
4\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,1 \hfill \\
5\,\,\,\,\,\frac{3}{2}\,\,\,\,\frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = ( - 1) \times $ $\left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\,\, + 1\,\,\,\,\,\, + 2 \hfill \\
- 3\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
- 2\,\,\,\,\,\, - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
خواص مهم جمع ماتریسها و ضرب عدد در ماتریس
اگر $B$، $A$ و $C$ ماتریسهایی $m \times n$ (هممرتبه) و $r$ و $s$ اعدادی حقیقی باشند خواص زیر همگی به راحتی و با توجه به تعاریف جمع ماتریسها و ضرب عدد در ماتریس قابل اثباتاند:
خاصیت جابهجایی $A + B = B + A$ (الف
خاصیت شرکتپذیزیر $A + (B + C) = (A + B) + C$ (ب
خاصیت عضو خنثی برای عمل جمع ماتریسها $A + \overline \bigcirc = \overline \bigcirc + A = A$ (پ
خاصیت عضو قرینه $A + ( - A) = ( - A) + A = \overline \bigcirc $ (ت
$r(A \pm B) = rA \pm rB$ (ث
$(r \pm s)A = rA \pm sA$ (ج
$rA = rB\,,\,r \ne 0 \Rightarrow A = B$ (چ
$A = B \Rightarrow rA = rB$ (ح
در حالت کلی اگر فرض کنیم $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ و $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ در این صورت برای $r \in \mathbb{R}$ داریم:
$r(A \pm B) = r(\left[ {{a_{ij}}} \right] \pm \left[ {{b_{ij}}} \right]) = r\left[ {{a_{ij}} \pm {b_{ij}}} \right] = \left[ {r({a_{ij}} \pm {b_{ij}})} \right]$
توزیعپذیری ضرب نسبت به جمع در $\mathbb{R}$ $ = \left[ {r{a_{ij}} \pm r{b_{ij}}} \right]$
تعریف جمع (تفاضل) $ = \left[ {r{a_{ij}}} \right] \pm \left[ {r{b_{ij}}} \right]$
تعریف ضریب عدد در ماتریس $ = r\left[ {{a_{ij}}} \right] \pm r\left[ {{b_{ij}}} \right]$
$ = rA \pm rB$
کار در کلاس (صفحه 17 کتاب درسی)
1- برای ماتریس $A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و دو عدد حقیقی $r = 3$ و $s = - 2$ برقراری خاصیت (ج) را تحقیق کنید.
$(r + s)A = \cancel{{( - 2 + 3)}}\left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
\,1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$rA + sA = - 2\left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] + 3\left[ \begin{gathered}
\,1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
- 2\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
+ 2\,\,\,\,\, - 6 \hfill \\
\end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered}
\,3\,\,\,\,\,\,6 \hfill \\
- 3\,\,\,\,9 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
\,1\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
2- درستی خاصیت (ج) را در حالت کلی ثابت کنید.
$(r + s)A = rA + sA$
ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی
اگر $A$ ماتریسی سطری و $B$ ماتریسی ستونی باشد طوری که تعداد ستونهای ماتریس $A$ با تعداد سطرهای ماتریس $B$ برابر باشند در این صورت $A \times B$ تعریف میشود و برای ضرب کافی است هر درایهٔ ماتریس $A$ را در درایهٔ نظیرش در $B$ ضرب کرده و حاصل این ضربها را با هم جمع کنیم که در این صورت ماتریسی $1 \times 1$ یا عدد حقیقی حاصل میشود.
مثال: اگر $A = \left[ { - 1\,\,\,2\,\,\,0\,\,\,3\,\,\, - 5} \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
- 2 \hfill \\
\,\,3 \hfill \\
\,\,7 \hfill \\
- 1 \hfill \\
- 2 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ در این صورت داریم:
$ = \left[ {( - 1) \times ( - 2) + 2 \times 3 + 0 \times 7 + 3 \times ( - 1) + ( - 5) \times ( - 2)} \right]$
$ = \left[ {2 + 6 + 0 + ( - 3) + 10} \right] = \left[ {15} \right] = 15$
کار در کلاس (صفحه 17 کتاب درسی)
یک ماتریس سطری $1 \times 3$ مانند $A$ و یک ماتریس ستونی $3 \times 1$ مانند $B$ طوری تعریف کنید که $A \times B = - 7$
$A = \left[ {0\,\,\,\,0\,\,\,\,1} \right],B = \left[ \begin{gathered}
\,\,0 \hfill \\
\,\,0 \hfill \\
- 7 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow \left[ {0\,\,\,0\,\,\,1} \right] \times \left[ \begin{gathered}
\,\,0 \hfill \\
\,\,0 \hfill \\
- 7 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ {0 \times 0 + 0 \times 0 + 1 \times ( - 7)} \right] = \left[ { - 7} \right] = - 7$
ضرب ماتریس در ماتریس
اگر $A$ ماتریسی $m \times p$ و $B$ ماتریسی $p \times n$ باشد (تعداد ستونهای ماتریس $A$ با تعداد سطرهای $B$ برابر باشد) در این صورت ${A_{mp}} \times {B_{pn}}$ قابل تعریف بوده و اگر فرض کنیم ${A_{mp}} \times {B_{pn}} = {C_{mn}} = \left[ {{c_{ij}}} \right]$، ماتریس $C$ ماتریسی $m \times n$ بوده که درایهٔ روی سطر $i$ام و ستون $j$ام در آن یعنی، ${{c_{ij}}}$ از ضرب سطر $i$ام $A$ در ستون $j$ام $B$ بهدست میآید، یعنی:
آیا ضرب $(B \times A)$ امکانپذیر است؟ چرا؟
خیر، زیرا تعداد ستونهای $B$ با تعداد سطرهای $A$ مساوی نیست.
کار در کلاس (صفحه 18 تا 19 کتاب درسی)
1- برای هر حالت $A \times B$ و $B \times A$ را در صورت امکان محاسبه کنید.
الف) $A = {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 3}}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,B = {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 4}} \Rightarrow A \times B = ....$
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,4 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
14\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\, + 1 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
8\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\, - 5 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
ب) $A = {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 2}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,B = {\left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{2 \times 3}} \Rightarrow A \times B = ....\,\,,\,\,\,B \times A = ...$
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
7\,\,\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,7 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,\, - 7 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,,\,B \times A = \left[ \begin{gathered}
\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 5 \hfill \\
18\,\,\,\,\,\, - 13 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
پ) $A = {\left[ \begin{gathered}
\,\,1 \hfill \\
- 1 \hfill \\
\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 1}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,B = {\left[ {2\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,4} \right]_{1 \times 3}} \Rightarrow A \times B = ...\,\,,\,\,\,B \times A = ...$
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
- 2\,\,\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,,\,B \times A = \left[ 7 \right] = 7$
ت) $A = {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{2 \times 3}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,B = {\left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 3}} \Rightarrow A \times B = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,...\,\,\,... \hfill \\
...\,\,\,...\,\,\,... \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
قسمت (ت) را با این حکم در اعداد حقیقی، که «اگر $a \times b = 0$ آنگاه $a = 0$ یا $b = 0$» مقایسه کنید.
اگر $A$ و $B$ دو ماتریس باشند که $A \times B = \overline O $ لزوماً نمیتوان نتیجه گرفت $A = \overline O $ یا $B = \overline O $
2- اگر $A$ ماتریسی $3 \times 5$ باشد در این صورت در هریک از حالتهای زیر مشخص کنید که $A \times B$ و $B \times A$ قابل تعریف است یا خیر و در صورت تعریف مرتبهٔ آن را بیابید:
$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{3 \times 2}}$ (الف
$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{3 \times 5}}$ (ب
$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{5 \times 3}}$ (پ
$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{5 \times 4}}$ (ت
$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{5 \times 5}}$ (ث
خواص عمل ضرب ماتریسها
کار در کلاس (صفحه 19 تا 20 کتاب درسی)
1- فرض کنید $A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ در این صورت حاصل $(A \times B)$ و $(B \times A)$ را با هم مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید؟
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \\
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
+ 1\,\,\,\, - 4 \hfill \\
\,\,4\,\,\,\,\, + 4 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$B \times A = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\, - 4 \hfill \\
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
+ 3\,\,\,\, - 14 \hfill \\
+ 1\,\,\,\,\, + 2 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ \Rightarrow A \times B \ne B \times A$
2- ماتریس اسکالر $I = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ را از چپ و راست در ماتریس $A = \left[ \begin{gathered}
a\,\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right]$ ضرب کرده و حاصل ضربها را با هم مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید؟
$A \times I = \left[ \begin{gathered}
a\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
a\,\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$I \times A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
a\,\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
a\,\,\,\,b \hfill \\
c\,\,\,\,d \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ \Rightarrow A \times I = I \times A = A$
3- اگر $A = {\left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,2\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{3 \times 2}}$ و $B = {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\, - 1 \hfill \\
2\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{2 \times 2}}$ و $C = {\left[ \begin{gathered}
\,\,2\,\,\,\,\,3 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]_{2 \times 2}}$ در این صورت درستی تساوی $A \times (B + C) = (A \times B) + (A \times C)$ را بررسی کنید.
$A \times (B + C) = \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left( {\left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered}
\,\,2\,\,\,\,\,3 \hfill \\
- 1\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]} \right) = \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
3\,\,\,\,2 \hfill \\
1\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
\,5\,\,\,\,\,\,\,\,10 \hfill \\
- 3\,\,\,\, - 2 \hfill \\
\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$A \times B + A \times C = \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered}
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
\,2\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ = \left[ \begin{gathered}
\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\, - 5 \hfill \\
\end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered}
\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
- 2\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \\
\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
\,\,5\,\,\,\,\,\,\,10 \hfill \\
- 3\,\,\,\, - 2 \hfill \\
\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ \Rightarrow A \times (B + C) = A \times B + A \times C$
در حالت کلی اگر $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times p}}$ و $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{p \times n}}$ و $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times n}}$ در این صورت ضرب ماتریس $A$ در مجموع $(B + C)$ خاصیت توزیعپذیری یا پخشی دارد یعنی:
$A \times (B + C) = (A \times B) + (A \times C)$
4- با همان ماتریسهای معرفی شده در شماره (3) درستی تساوی زیر را بررسی کنید:
$A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$
در حالت کلی اگر $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times p}}$ و $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times k}}$ و $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{k \times n}}$ در این صورت ضرب این سه ماتریس خاصیت شرکتپذیری دارد یعنی:
$A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$
تمرین (صفحه 20 تا 21 کتاب درسی)
1- اگر $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{3 \times 4}}$ ماتریسی $3 \times 4$ باشد بهطوری که برای $i = j$ داشته باشیم ${a_{ij}} = 7$ و برای $i \gt j$ داشته باشیم ${a_{ij}} = i + j$ و برای $i \lt j$ داشته باشیم ${a_{ij}} = {i^2}$ در این صورت ماتریس $A$ را با درایههایش مشخص کنید.
$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{3 \times 4}} = \left\{ \begin{gathered}
7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i = j \hfill \\
i + j\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \gt j \hfill \\
{i^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \lt j \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow A = \left[ \begin{gathered}
7\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
4\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,9 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
2- اگر $A = \left[ \begin{gathered}
2x - y\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\,\,\,\,\,z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
3\,\,\,\,\,\,\,\,2x + y \hfill \\
- 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $A = B$ در این صورت حاصل $(x + y + z)$ را بیابید.
$\begin{gathered}
\underline {\left\{ \begin{gathered}
2x - \cancel{y} = 3 \hfill \\
2x + \cancel{y} = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.} \hfill \\
4x = 8\,\,\,\,\, \Rightarrow x = 2,y = 1,z = - 2 \hfill \\
\end{gathered} $
$ \Rightarrow x + y + z = 2 + 1 - 2 = 1$
3- دو ماتریس $3 \times 3$ مانند $A$ و $B$ مثال بزنید که $A \ne \overline \bigcirc $ و $B \ne \overline \bigcirc $ ولی $AB = \overline \bigcirc $.
$A = \left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,3\,\,\,\,0 \hfill \\
4\,\,\,\,6\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] \ne \overline O ,B = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\, - 6 \hfill \\
0\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\end{gathered} \right] \ne \overline O \Rightarrow A \times B = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \overline O $
4- با یک مثال نقض نشان دهید که قانون حذف در ضرب ماتریسها برقرار نمیباشد بهعبارت دیگر نشان دهید که در حالت کلّی از تساوی $AB = AC$ نمیتوان نتیجه گرفت $B = C$.
$A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,2 \hfill \\
2\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right],B = \left[ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right],C = \left[ \begin{gathered}
- 3\,\,\,\,\,\,\,8 \hfill \\
\,3\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow $
$AB = AC = \left[ \begin{gathered}
3\,\,\,\,\,4 \hfill \\
6\,\,\,\,\,8 \hfill \\
\end{gathered} \right];B \ne C$
5- اگر $A$ ماتریسی مربعی باشد و توانهای $A$ را بهصورت ${A^2} = AA$ و ${A^3} = A{A^2}$ و ... و $(n \in \mathbb{N}\,\,n \gt 1){A^n} = A{A^{n - 1}}$ تعریف کنیم، در این صورت با فرض $A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ حاصل ${A^2}$ و ${A^3}$ و ${A^7}$ را بیابید.
$A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow {A^2} = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = I$
${A^3} = A{A^2} = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow $
$...\left\{ \begin{gathered}
A = {A^3} = {A^5} = {A^7} = ... = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \hfill \\
{A^2} = {A^4} = {A^6} = ... = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] = I \hfill \\
\end{gathered} \right.$
6- اگر $A = \left[ \begin{gathered}
4\,\,\,\,\,\,\,a \hfill \\
b\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ و $B = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\, - 2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ مقادیر $a$ و $b$ را طوری بهدست آورید که حاصل ضرب $A \times B$ ماتریسی قطری باشد.
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
4\,\,\,\,\,\,a \hfill \\
b\,\,\,\, - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\, - 2 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
4 + 3a\,\,\,\,\,\,\, - 8 + 2a \hfill \\
\,b - 3\,\,\,\,\,\,\,\, - 2b + 2 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
- 8 + 2a = 0 \Rightarrow a = 4 \hfill \\
b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
7- اگر $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{3 \times 2}}$ و $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{2 \times 3}}$ بهصورت زیر معرفی شده باشند، ایتدا $A$ و $B$ را با درایههایشان نوشته و سپس $A \times B$ و $B \times A$ را بهدست آورید.
${a_{ij}} = \left\{ \begin{gathered}
{i^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i = j \hfill \\
i - j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \gt j \hfill \\
j - i\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \lt j \hfill \\
\end{gathered} \right.$
و
${b_{ij}} = \left\{ \begin{gathered}
{i^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i = j \hfill \\
i + j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \gt j \hfill \\
i - j + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,i \lt j \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$A = \left[ \begin{gathered}
0\,\,\,\,1 \hfill \\
1\,\,\,\,3 \hfill \\
2\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right]\,\,,B = \,\left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
2\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow $
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
8\,\,\,\,\,\,\,16\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
6\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right],B \times A = \left[ \begin{gathered}
1\,\,\,\,5 \hfill \\
7\,\,\,\,18 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
8- اگر $A = \left[ \begin{gathered}
{r_1}\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,{r_2}\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,{r_3} \hfill \\
\end{gathered} \right]$ ماتریسی قطری باشد و $B$ ماتریسی $3 \times 3$ و دلخواه باشد در این صورت ماتریس $(A \times B)$ را تشکیل دهید. چه نتیجهای میگیرید؟
$A = \left[ \begin{gathered}
{r_1}\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,{r_2}\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,{r_3} \hfill \\
\end{gathered} \right],B = \left[ \begin{gathered}
{a_{11}}\,\,\,\,\,{a_{12}}\,\,\,\,\,{a_{13}} \hfill \\
{a_{21}}\,\,\,\,\,{a_{22}}\,\,\,\,\,{a_{23}} \hfill \\
{a_{31}}\,\,\,\,\,{a_{32}}\,\,\,\,\,{a_{33}} \hfill \\
\end{gathered} \right] \Rightarrow $
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
{r_1}{a_{11}}\,\,\,\,\,{r_1}{a_{12}}\,\,\,\,\,{r_1}{a_{13}} \hfill \\
{r_2}{a_{21}}\,\,\,\,\,{r_2}{a_{22}}\,\,\,\,\,{r_2}{a_{23}} \hfill \\
{r_3}{a_{31}}\,\,\,\,\,{r_3}{a_{32}}\,\,\,\,\,{r_3}{a_{33}} \hfill \\
\end{gathered} \right]$
نتیجه: اگر $A$ ماتریسی قطری و $B$ یک ماتریس مربعی هم مرتبه با $A$ باشد. برای محاسبه $A \times B$ کافی است درایههای قطر اصلی $A$ را در درایههای سطرهای نظیر آنها در ماتریس $B$ ضرب کنیم.
9- اگر $A$ ماتریسی $3 \times 3$ و اسکالر باشد و $B$ ماتریسی هممرتبهٔ $A$ در این صورت
الف) برای $A \times B$ و $B \times A$ قوانینی تعریف کنید.
ب) آیا تساوی $A \times B = B \times A$ برقرار است؟
اگر $A = \left[ \begin{gathered}
r\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,r\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,r \hfill \\
\end{gathered} \right],B = \left[ \begin{gathered}
{a_{11}}\,\,\,\,\,{a_{12}}\,\,\,\,\,{a_{13}} \hfill \\
{a_{21}}\,\,\,\,\,{a_{22}}\,\,\,\,\,{a_{23}} \hfill \\
{a_{31}}\,\,\,\,\,{a_{32}}\,\,\,\,\,{a_{33}} \hfill \\
\end{gathered} \right]$ آنگاه:
$A \times B = \left[ \begin{gathered}
r{a_{11}}\,\,\,\,\,r{a_{12}}\,\,\,\,\,r{a_{13}} \hfill \\
r{a_{21}}\,\,\,\,\,r{a_{22}}\,\,\,\,\,r{a_{23}} \hfill \\
r{a_{31}}\,\,\,\,\,r{a_{32}}\,\,\,\,\,r{a_{33}} \hfill \\
\end{gathered} \right] = rB,B \times A = \left[ \begin{gathered}
r{a_{11}}\,\,\,\,\,r{a_{12}}\,\,\,\,\,r{a_{13}} \hfill \\
r{a_{21}}\,\,\,\,\,r{a_{22}}\,\,\,\,\,r{a_{23}} \hfill \\
r{a_{31}}\,\,\,\,\,r{a_{32}}\,\,\,\,\,r{a_{33}} \hfill \\
\end{gathered} \right] = $
$rB \Rightarrow A \times B = B \times A = rB$
10- اگر $A$ و $B$ ماتریسهای $3 \times 3$ و تعویضپذیر باشند $(A \times B = B \times A)$ ثابت کنید.
${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ (الف
${(A + B)^2} = (A + B)(A + B) = (A + B)A + (A + B)B = $
${A^2} + BA + AB + {B^2} = {A^2} + AB + AB + {B^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
$(A - B)(A + B) = {A^2} - {B^2}$ (ب
$(A + B)(A - B) = (A + B)A - (A + B)B = $
${A^2} + BA - AB - {B^2} = {A^2} + AB - AB - {B^2} = {A^2} - {B^2}$
11- اگر $A = \left[ \begin{gathered}
- 2\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right]$ مفروض باشد. حاصل ${A^3}$ را بهدست آورید. چه نتیجهای میگیرید؟
${A^2} = \left[ \begin{gathered}
- 2\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
- 2\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
4\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,16 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$ \Rightarrow {A^3} = \left[ \begin{gathered}
- 2\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right] \times \left[ \begin{gathered}
4\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,16 \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered}
- 8\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,27\,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,64 \hfill \\
\end{gathered} \right]$
$A = {\left[ \begin{gathered}
{a_{11}}\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,{a_{22}}\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,0 \hfill \\
\, \vdots \,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\, \ddots \,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,{a_{nn}}\, \hfill \\
\end{gathered} \right]_{n \times n}}\underrightarrow {k \in \mathbb{N}}\,{A^k} = {\left[ \begin{gathered}
a_{11}^k\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,a_{22}^k\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,0 \hfill \\
\, \vdots \,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \,\,\,\,\,\,\, \ddots \,\,\,\, \cdots \hfill \\
0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,a_{nn}^k \hfill \\
\end{gathered} \right]_{n \times n}}$